Natural number objectの存在を示すことは 難しい話ではありませんが、これが homotopicalな 世界でということになると、様相は全く違って、大変 難しい話になります。次の論文をreviewしたので、 ご案内しておきます。
https://zbmath.org/pdf/07333622.pdf
にしむら https://www.researchgate.net/profile/Hirokazu-Nishimura https://www.youtube.com/watch?v=4Ja6JhkyF64